A Real Space Method for Averaging Lemmas

We introduce a new method to prove averaging lemmas, i.e. prove a regularizing effect on the average in velocity of a solution to a kinetic equation. The method does not require the use of Fourier transform and the whole procedure is performed in the ’real space’. We are consequently able to improve the known result when the integrability of the solution (or the right hand side of the equation) is different in space and in velocity. We also present a few counterexamples to test the optimality of the new results. Résumé. Nous présentons une nouvelle méthode pour obtenir des lemmes de moyenne, c’est-à-dire un effet régularisant sur les moyennes en vitesse d’une équation cinétique. Cette méthode ne fait pas appel à la transformée de Fourier et toute la preuve se fait dans l’espace réel. Par conséquent, nous sommes capables d’améliorer les résultats connus quand l’intégrabilité de la solution (ou du second membre de l’équation) est différente en espace et en vitesse. Nous donnons également quelques contre-exemples pour vérifier le caractère optimal des nouveaux résultats. ∗partially supported by the projects PICS 1014 and HPRN-CT-2002-00282 and a MCyT grant